Lecture 10. Small Signal Analysis of Bipolar Differential Pair

-Summary of Diff.pair properties

1) if |Vin1-Vin2| is large, all of the tail current is "steered" to one side.

-> current steering circuit.

Vin1과 Vin2 차이가 크면 한쪽에만 전류가 흐르게 된다. 

2) if Vin1=Vin2 and Vcm,in goes up and down 

-> the current and voltages do not change which means circuits "rejects" to common mode changes

3) if |Vin1-Vin2|<<2Vt

-> slope=-Rc*Ie/2Vt  (gain)

 

Quiz)

 

해당 회로는 증폭의 기능을 갖고 있을까?? Vout을 우선 구해보면 아래와 같다. 

여기에 taylor function을 이용하여 아래와 같이 표현할 수 있다. 

여기서 Rc*Ie/2Vt의 값이 1보다 크게 되면 amplify 된다고 말할 수 있다. 

 

-Small Signal Analysis

Two Basic concepts

bipolar에서 gm을 구하는 식은 위와 같다. 여기서 Ic의 값이 bias current 임을 잊지 말자. 

bipolar transistor의 small signal model은 위와 같다. 

 

- If Vin1 and Vin2 changes by equal and opposite amounts and change is small, then the tail node voltage does not change. 

Vin1과 Vin2의 변화가 작고 반대이면 tail currnt에 해당하는 전압의 값이 변하지 않는다. 이를 두 가지 방법으로 증명해 보자. 

 

첫 번째는 그냥 small signal model을 그려서 한다. 

여기서 P 노드에 대한 KCL과 KVL을 하면 아래와 같다. 여기서 Vp는 small signal model임으로 p node에서의 전압 변화를 의미한다. 

여기서 Q1과 Q2가 동일하여 rpi와 gm의 값이 같다고 가정하면 아래와 같이 정리할 수 있다. 

rpi와 gm이 0이 아니면 Vpi에 대한 관계식이 나오게 된다. 이를 이용해 맨 처음에 나온 KVL 식을 정리하면 아래와 같다. 

Vp=0임으로 AC GND라고 말할 수 있다. 

 

두 번째는 아래의 회로에서 Vin의 변화에 따른 Vbe 값에 변화가 있는지 확인해 보면 된다. 

우리가 이전에 구한 Vx-Vy의 식을 이용하는 것이다. 우선 Vx-Vy를 구해보면 아래와 같다. 

단순하게 Vx와 Vy를 각각 구하면 아래와 같다. 

이 식과 앞서 구한 공식에서 구한 식을 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다. 

Ic1+Ic2가 일정함을 이용해 식을 세우면 아래와 같다. 

이제 Vbe를 구하기 위해서 gm을 이용하면 아래와 같다. 

우리가 원하는 값은 Ic의 변화량임으로 이전의 식에서 변화량만을 이용한다.

이를 gm 식에 대입하면 아래와 같다. 

bias currnet가 1/2 Iee임으로 이를 대입하면 

즉 Vin이 delat V만큼 증가했는데 Vbe 또한 그만큼 증가하였다. 이 말은 Ve에 해당하는 Vp가 변함이 없었다는 것을 의미한다. 즉 Vp는 small signal model에서 AC GND임을 알 수 있다. 

 

-Small Signal Behavior

 

해당 회로에서 Vp에 대한 부분의 전압이 시간에 따라 변하지 않는다. 즉 independent source가 있다고 생각할 수 있으므로 small signal model에서 AC GND의 꼴로 생각할 수 있다. 

그래서 이를 이용해 부분적으로 small signal model을 적용하면 아래와 같다. 

실제 small signal model을 그리면 아래와 같다. 

이 AC GND가 생기는 특징을 이용해 "HALF CIRCUIT"을 이용하여 gain을 구하게 된다. 

 

-Half Circuit

 

말그대로 half circuit을 이용하면 CE stage로 위와 같이 Vx를 쉽게 구할 수 있다. 이를 똑같이 Vy에 적용하여 Vx-Vy를 구하고 gain을 구하면 아래와 같다. 

여기서 얻게 되는 gain을 "differential gain"이라고 한다. 그리고 gm을 앞서 구한 bias current/Vt임을 이용해 정리하면 아래와 같다. 

gain의 값이 tanh을 taylor 방정식으로 구한 값과 같음을 확인할 수 있다. 

 

 

V/R

 

 

윤.