Lecture 18. Useful Frequency Response concepts, Finding Poles by inspection

우선 아래의 예시를 보자.

EX)

위의 회로에서 frequency response를 살펴보면 아래와 같다. 

cap에 해당하는 전압의 값은 frequency가 높아지며 높아질수록 낮아짐으로 위와 같은 결과를 예상해 볼 수 있다. 그리고 위의 개형은 Low pass filter의 꼴을 갖고 있음을 알 수 있다. 이는 pole이 하나 존재함을 말한다. 

 

-Bode's Rule

pole frequency를 통과하게 되면 |H|의 기울기가 20dB/dec만큼 감소하게 된다. 

zero frequency를 통과하게 되면 |H|의 기울기가 20dB/dec만큼 증가하게 된다. 

이를 그래프로 그리면 아래와 같다. 

x와 y축은 log scale로 그려져 있다. 그리고 왼쪽은 pole을 오른쪽은 zero의 경우를 보여준다. pole을 통과하면서 -20dB/dec가 되고 있고 zero는 거의 원점이라고 생각하면 바로 +20dB/dec의 기울기를 보여주고 있다. 

 

EX)

 

간단하게 위의 회로의 frequency response를 bode's rule에 따라 그려보자. 우선 transfer function을 구하면 아래와 같다. 

여기서 pole이 음의 값이 나오게 되는데 이는 이상한게 아니라 오히려 안정적인 값임을 보여준다. 만약 양의 값이 나온다면 RHP pole혹은 zero를 검색하면 이 값들이 불안정한 값임을 알 수 있다. 이를 바탕으로 Wp의 값을 지나면 기울기가 감소할 것임을 알 수 있다. 

 

-Finding poles by inspection

앞서 예시에서 알 수 있듯이 pole의 위치만 대략적으로 알아도 bode's polt을 예상해 볼 수 있다. 이를 생각하면 pole의 위치를 대략적으로 발견할 수 있는 것은 생각보다 중요하다. 

위의 회로의 경우 우리는 대략 Vout node 부분에서 pole이 존재할 것임을 알 수 있다. 이때 pole의 frequency 값은 앞서 구한 것과 같이 1/RC이다. 그래서 이에 대한 계산을 대략적으로 정리하면 아래와 같다.

 

To calculate the pole

- Make Vin GND.

- Find the resistance from that pole to AC GND

- Find the capacitance from that node to AC GND.

우리가 pole이 있을 것으로 생각하는 node와 AC GND 사이의 저항값과 capacitace 값을 구해서 곱하면 1/RC 꼴로 나오게 되고 이는 정확한 값은 아니지만 적어도 대략적인 개형을 생각해 볼 수 있다. 

 

EX)

 

이 회로에서 우리는 pole의 위치를 대략 gate 부근임을 예상해 볼 수 있다. 그래서 앞서 말한 것과 같이 Vin을 AC GND로 만들고 생각을 해보면 아래와 같다. 

저항의 값을 생각하면 pole의 node에서 AC GND 사이의 저항의 값인 Rg cap의 경우 Cg이다. 이 두 값을 곱하게 되면 대략적인 pole의 위치를 예측해 볼 수 있다. 

 

EX)

위의 회로에서는 pole의 위치가 Vout에 해당하는 node에 있음을 예상해 볼 수 있다. 이를 바탕으로 

 

위와 같이 생각을 해 줄 수 있고 pole frequency에서 저항의 값은 Rd cap의 값은 CL임을 알 수 있다. 그리고 여기서 우리는 pole이 하나라고 예측하였고 실제로도 그러함으로 이를 이용해 transfer function을 구해보면 아래와 같다. 

wp의 값 이하의 frequency에서는 1보다 작은 값이므로 기존의 gain이 나오게 되고 그 이후의 값은 1보다 커지게 되면서 gain이 감소하게 됨을 생각하여 위와 같이 식을 세워 구해줄 수 있다. 

 

EX)

위의 회로에서 우리는 두 개의 pole이 존재할 것임을 생각할 수 있다. 그래서 이를 앞서 한 것과 같이 구해보면 

이를 이용해 transfer function을 구하면 아래와 같다. 

이를 바탕으로 bode polt을 그려보면 아래와 같다. Wp1<Wp2라고 가정하자. 

Wp1을 지나면서 기울기가 -20 감소하고 Wp2까지 만나게 되면서 -20에서 추가로 -20 감소하면서 -40dB/dec가 된다. 이와 같이 pole identification에 대해서 알아보았는데 이는 알다시피 좀 쉬운 내용을 다룬 것이고 아래와 같은 회로에서 pole에 대한 정보를 어떻게 얻을 수 있는지는 다음 글에서..

 

V/R

 

 

윤.