Lecture 19. Miller Effect, High frequency model of Bipolar Transistor

 

위와 같은 회로에서 cap을 floating한다고 표현한다. floating cap은 GND와 연결이 안 되어 있으므로 이전에 이용했던 방식을 통해서는 pole의 값을 알 수가 없다. 그래서 Miller's Theorem을 이용해야 한다. 

 

-Miller's Theorem

Miller's thm은 왼쪽과 같은 회로를 오른쪽과 같이 바꾸는데 이용하는 이론이다. 왼쪽이 기존의 회로라면 1과 2 사이에 흐르는 전류의 값이 오른쪽에서는 끊어져 있는 상태이다. 이 값을 무작정 없애면 안 됨으로 오른쪽과 같이 바꾼 회로에서 Z1과 Z2의 값에 의해서 Zf에 흐르던 전류의 값이 흘러야 한다라는 생각으로 아래와 같이 식을 세울 수 있다. P node가 1번에 해당하고 Q가 2번에 해당한다. 

이를 정리하면 아래와 같다. 

이번에는 반대편에서 구해보면 아래와 같다. 

EX)

 

위의 회로에서 Rf가 Vin과 Vout에 연결되어 있다. 이를 앞서 Miller's Thm을 이용하면 쉽게 pole과 zero 위치를 파악할 수 있다. 우선 Vin에 해당하는 저항의 값을 구하기 위해 앞서 식을 생각해보면 1-Vq/Vp의 값으로 기존의 저항의 값을 나눔으로 Vp=Vin Vq=Vout임으로 Vq/Vp는 Av에 해당함을 알 수 있다. 이를 통해 아래와 같이 식을 세워줄 수 있다. 

여기서 알 수 있는 것은 " Zpq is divided by 1-Av as it appears at the input" 즉 Rf에 해당하는 값이 input에서 1-Av로 나눈 값과 같이 보이게 됨을 알 수 있다. 실제 회로를 잘라서 나누는 것이 아닌 굳이 말하자면 Rin과 Rout을 구할 때와 같이 input 혹은 output에서 위의 식과 같은 저항의 값이 나옴을 말한다. 

 

Quiz)

Av의 값이 양의 값이면 어떻게 될까??

위와 같이 값이 나오게 되고 이는 negative resistance라고 불린다. 이는 나중에 LC Oscillator에서 나오게 되는데 이는 나도 다시 공부를 해야될것 같다. 

 

EX)

이번에는 저항이 아니라 floating cap이 존재할 때를 생각해보자. 이를 Miller's Thm을 이용해 오른쪽과 같이 생각하면 아래와 같이 식을 세울 수 있다. 

이를 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있다. 

이를 바탕으로 아래와 같은 회로를 그릴 수 있다. 

여기서 알 수 있는 것은 앞서 저항은 1-Av가 나눠지면서 저항의 값이 감소했는데 cap의 경우 임피던스의 값이 감소한 것은 같지만 capacitance 값 자체는 증가했음을 알 수 있다. 이는 나중에 pole identification을 하였을 때 pole frequency 값이 감소할 것임을 예상해 볼 수 있다. 이렇게 되면 BW가 감소하게 되면서 우리가 원하는 대로 작동하지 않을 수 있다. 그리고 cap이 커진다는 것은 RC time constant 값이 커짐을 말하는 것으로 input에서는 반응속도가 느려짐을 알 수 있다. 

 

EX)

위의 회로에서 cap을 miller's thm을 이용해 pole을 구하기 쉽게 바꾸면 아래와 같다. 

 

CAUTION!!!!

1)

Miller's Thm(Approximation)을 이용해 우리는 pole의 값을 구할 수 있다. 앞서 우리가 Cap의 값을 구할때 -gm*Rd를 사용했는데 이는 low frequency에서의 값이다. 하지만 cap이 존재하면 gain의 값은 주파수에 따라 변동성이 생기게 됨을 우리는 알고 있다. 즉 Av의 값은 주파수에 따라 변하고 당연히 miller's thm을 이용해 구한 임피던스 값도 변하게 된다. 하지만 앞서 말한 것과 같이 approximation임으로 대략적인 값을 위해서는 그냥 -gm*Rd의 값을 이용해도 크게 문제는 없다. 하지만 정확한 값을 위해서는 우리가 목표로 하는 frequency에서의 gain을 구해서 계산을 해주어야 한다. 

 

2) Zero는 transfer function에서 분자가 0이 되게 하는 값을 말한다. 분자가 0이 되면 gain이 0이 됨을 말하는데 아래와 같은 회로에서 gain이 0이 나오려면 

Vin의 신호가 transistor를 거치지 않고 Cf를 통해 그냥 흐르게 된다면 gain이 0이 되는 회로가 될 것이다. 즉 zero가 존재하려면 Cf와 같은 cap이 존재해야 한다. 물론 무조건 그러한 것은 아닐 수 있지만 일반적으로 이와같이 생각해 줄 수 있다. 하지만 우리는 Cf가 있으면 pole의 위치를 파악하기 어려움으로 이를 miller's thm을 이용해 없애 주었다. 이는 Vin과 Vout을 이어주는 부분으로 없애 버림으로 zero가 없어지게 된다. 

즉 miller' thm을 이용해 pole을 구할 수 있지만 한편으로 zero가 없어지게 된다. zero는 실제로 계산을 열심히해서 진짜 transfer function을 구하게 되면 구할 수 있는 값이다. 

 

-High Frequency model of Bipolar Transistor

 

이제 bipolar transistor에서 숨겨져있는 capacitance에 대해서 알아보자. Biploar transistor의 경우 아래와 같은 구조를 갖고 있다. 

여기서 n-type과 p-type이 만나는 부분들이 존재하는데 여기서 charge가 store 될 수 있다. 즉 이를 charge를 충전할 수 있는 cap으로 생각할 수 있다. 이와 같은 방식으로 bipolar transistor의 capacitance를 찾아보면 아래와 같다. 

Cu, Cpi, Ccb이렇게 세 가지 capacitance가 high frequency에서 발견된다. 이를 parasitic capacitance라고 부르고 아래와 같이 표현한다. 

 

V/R

 

 

윤.