Lecture 28. Feedback Examples, Concept of Loop Gain

In a well designed Negative-feedback system, the feedback signal is a good copy of the input signal

즉 Negative feedback을 잘 설계하면 error signal이 작아짐으로 결국 input signal과 feedback signal값이 비슷하게 된다. 

 

EX)

위와 같이 단순한 feedback system이 있다고 하면 이때의 closed loop gain의 값을 구해보자. 공식에 따르면 아래와 같이 구해진다. 

이번에 A1=50으로 감소하게 되면 어떻게 될까??

위의 식에서 계산을 똑같이 해보면 분명 open loop gain은 절반이 감소했음에도 closed loop gain은 그만큼 감소하지 않았다. 거의 10% 정도만 감소했음을 알 수 있다. 나중에 살펴보겠지만 A1이 어느 정도 크게 되면 closed loop gain에 영향을 적게 주게 됨을 알 수 있다. 

 

Observation

만약 k*A1>>1인 경우를 생각해보자.

기존의 closed loop gain의 분모가 깔끔하게 정리되면서 아래와 같은 식으로 정리된다. 

A1(Open Loop Gain)의 값이 어느 정도 커지게 되면 1/K로 close loop gain이 결정이 된다. 이는 앞서 말한 것과 같이 A1의 값이 영향을 덜 주는 이유를 수식적으로 해석한 것이다. 그리고 k*A1을 Loop Gain이라고 하는데 이를 굳이 따로 명칭을 붙인 이유가 위와 같은 해석이 가능하기 때문이라고 생각된다. 그래서 우리는 K*A1(Loop gain)을 최대한 크게 해 주어 open loop gain에 영향을 덜 받고 feedback factor로 결정되는 회로를 만들 수 있다. 

 

 

Observation2

 

A1(open loop gain)이 어느정도 크면 close loop gain의 값이 1/K로 결정이 되는데 closed loop gain의 값이 1보다 크기 위해서 K는 보통 1 이하의 값이다. 

 

EX)

위의 회로는 우리가 지금까지 본 feedback system이다. 여기서 빨간색 부분을 수식으로 나타내면 A1*(X-U)이다. 두 개의 input의 차를 구하고 이 값에 gain을 곱하는 형태이다. 이는 아래와 같은 형태로 opamp를 이용해 나타낼 수 있다. 

그래서 이를 이용해 아래의 회로를 좀 더 현실적(?)으로 그려보면

여기서 opamp를 이용해 subtract해주고 이 값을 feedback factor로는 voltage divider를 이용하고 있는 회로이다. 여기서 closed loop gain을 구하면 

여기서 만약 well designed Negative Feedback circuit인 경우 k*A1(Loop gain)의 값이 큰 회로를 의미한다. 이를 이용해 closed loop gain을 구하면 

위와 같은 값이 나오게 된다. 여기서 결과를 보면 이는 non-inverting amp의 gain의 값과 같음을 알 수 있다. 기억이 안 난다면 앞에 OPAMP 부분에서 나오니 함 읽어보자. 어쨌든 이상적인 경우 우리가 알던 값이 나오고 있다. 

그럼 어떤 사람은 저항은 온도에 영향을 받는 값이니 문제가 있을 수 있지 않나요?? 라고 말할 수 있다. 하지만 Razavi 교수님 말로는 우리가 transistor를 병렬로 연결하여 이용하듯이 저항도 unit resistor가 존재하고 이를 연결하여 이용한다고 한다. 굳이 말하자면 아래와 같이 연결하여 이용한다. 

즉 resistor unit의 값이 변동이 있을 수 있지만 위와 같이 비율의 개념이라면 우리는 일정한 값을 얻을 수 있다. 

 

-Loop Gain

K*A1의 값을 말한다. In a well designed Negative Feedback system에서는 Loopgain(K*A1)>>1이다. 그리고 이 값은 closed loop gain의 값을 1/K로 만들어준다. 

 

-Loop Gain Calculation 

그럼 지금까지 Loop Gain이 어떠한 의미를 갖는지 보았으므로 이제 구하는 방법에 대해 살펴보자. 앞서 예시와 같이 feedback factor(k)가 쉬운 값이라면 상관없지만 어려운 값인 경우 위와 같이 closed loop를 끊어서 생각한다. input을 없애고 위와 같이 loop break을 해준 다음에 Vtest를 연결하면 된다. 여기서 -Vf/Vtest를 구하면 그 값이 Loop Gain이다. 

EX)

이론적으로는 어디에서든 loop break를 해도 loop gain의 값을 구할 수 있다. 그래서 이번에는 feedback factor 다음 부분에 loop를 break 하였다. 

위와 같이 Loop gain의 값이 나오게 된다. 

 

EX)

 

 

위의 회로에서 loop gain을 구해보자. 앞서 배운 것처럼 loop break를 해주면 

여기서 -Vf/Vtest를 구하면

위와 같이 구해줄 수 있다. 이는 k*A1의 값임을 쉽게 알 수 있다. 

 

EX)

위와 같은 회로를 unity gain buffer라고 한다. unity gain인 이유를 closed loop gain을 구해보면 쉽게 알 수 있다. 

k=1이 되자 gain의 값이 이상적인 경우 1이 이상적이지 않아도 1 이하의 값이 나오게 된다. 이는 follower와 비슷한 값이다. 그리고 OPAMP의 input은 저항의 값이 매우 높고 output은 아주 작다는 점에서 우리가 알고 있는 buffer의 기능을 할 수 있음을 알 수 있다. 

 

 

One Important Property

 

K*A1>>1

Loop gain의 값이 매우 큰 경우 closed loop gain의 값이 1/k가 되고 이는 상대적으로 open loop gain의 값인 A1에 영향을 덜 받는 값이라고 말할 수 있다. 즉 A1의 변화를 주어도 closed loop gain의 변화가 적다. 

 

V/R

 

 

윤.